解三次方程 x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先试有理根。 $2000$ 的因数包括 $\pm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000$。把比较靠谱的负数代进去，得到 $f(-10) = 1000$、$f(-20) = 2000$、$f(-25) = 1375$、$f(-40) = -14000$：没有一个是零，但 $-25$ 与 $-40$ 之间的变号说明实根就落在这一段里。

2. 2

   消去二次项。 取 $a = 40$，$b = 400$，$c = 2000$，作代换 $x = y - \tfrac{40}{3}$。于是

   $p = b - \frac{a^2}{3} = 400 - \frac{1600}{3} = -\frac{400}{3}, \qquad q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = \frac{128000}{27} - \frac{144000}{27} + \frac{54000}{27} = \frac{38000}{27}$

   方程化为 $y^3 - \tfrac{400}{3}y + \tfrac{38000}{27} = 0$。

3. 3

   计算判别式。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{19000}{27}\right)^2 - \left(\frac{400}{9}\right)^3 = \frac{361000000 - 64000000}{729} = \frac{11000000}{27}$

   即 $\Delta \approx 407407.4 > 0$，所以有一个实根和一对共轭复根。

4. 4

   套卡尔达诺公式，再平移回去。

   $x = \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} + \sqrt{\frac{11000000}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} - \sqrt{\frac{11000000}{27}}} - \frac{40}{3}$

   数值上 $\sqrt{11000000/27} = 638.2847$，$\tfrac{19000}{27} = 703.7037$，于是两个立方根分别是 $\sqrt[3]{-65.4190} = -4.02935$ 与 $\sqrt[3]{-1341.9884} = -11.03018$。二者之和为 $y \approx -15.059534$，因此

   $x_1 = -15.059534 - 13.333333 = -28.392868$

5. 5

   求出那对共轭复根。 除掉 $(x - x_1)$ 后剩下 $x^2 + 11.607132x + 70.440225$，它的根是

   $x = -5.803566 \pm 6.062907\,i$

6. 6

   用韦达定理检验。 根之和 $= -28.392868 + 2(-5.803566) = -40.000000$，与 $-a = -40$ 吻合。根之积 $= -28.392868\left(5.803566^2 + 6.062907^2\right) = -28.392868 \times 70.440220 = -2000.0$，与 $-c = -2000$ 吻合。把 $x_1$ 直接代回三次方程得 $|f(x_1)| < 10^{-9}$。（网上常见的实根 $-30.3393$ 是错的：代入得 $f(-30.3393) \approx -1243$。）