设 f(x) = a(x − 5)³ + b(x − 5) + 7。若 1 ≤ f(x) ≤ 13 的解集为 k − 9 ≤ x ≤ 3k + 7，求 k。

Step-by-step solution

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   先把函数剥出它的奇函数内核。 令 $t=x-5$，$g(t)=at^3+bt$，则

   $f(x)=g(x-5)+7$

   而 $g$ 是奇函数，因为 $g(-t)=-at^3-bt=-g(t)$。任何「三次项加一次项」的式子都是这样——里面没有偶次幂，也就没有什么能破坏这种对称。

2. 2

   把奇性转化成 $f$ 的中心对称。 对任意 $t$，

   $f(5+t)+f(5-t)=\left[g(t)+7\right]+\left[g(-t)+7\right]=g(t)-g(t)+14=14$

   所以 $f$ 的图像关于点 $(5,7)$ 中心对称：在 $x=5$ 右边 $t$ 个单位处发生的一切，都会在左边 $t$ 个单位处倒过来重现。

3. 3

   再注意上下界也关于 7 对称。 约束条件

   $1\le f(x)\le 13\iff |f(x)-7|\le 6$

   因为 $1=7-6$ 而 $13=7+6$。一个关于中心值对称的条件，施加在一个关于中心点对称的函数上，解集必然关于 $x=5$ 对称。

4. 4

   于是要求给定区间以 5 为中心。 $\left[k-9,\;3k+7\right]$ 的中点是

   $\frac{(k-9)+(3k+7)}{2}=\frac{4k-2}{2}=2k-1$

   令它等于 $5$：

   $2k-1=5\;\Longrightarrow\;k=3$

5. 5

   检验 $k=3$ 确实给出一个像样的区间。 取 $k=3$ 时两端点为 $k-9=-6$ 与 $3k+7=16$，解集是 $[-6,16]$——一个非空的合法区间，其中点为 $\tfrac{-6+16}{2}=5\;\checkmark$，与对称中心吻合。它的半宽 $11$ 又通过 $f(16)=13$ 反过来约束 $a$ 和 $b$，但 $k$ 本身仅凭对称性就被确定了。