求证：对任意实数 a，方程 x² + ax + a − 2 = 0 都有两个不相等的实根。

Step-by-step solution

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   先回忆实根个数由什么决定。 对 $Ax^2+Bx+C=0$（$A\neq 0$），判别式

   $\Delta=B^{2}-4AC$

   决定一切：$\Delta>0$ 有两个不相等的实根，$\Delta=0$ 有一个重根，$\Delta<0$ 无实根。所以整道证明就归结为说明对任意 $a$ 都有 $\Delta>0$。

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   认清各项系数。 这里要小心——字母 $a$ 是参数，不是二次项系数：

   $A=1,\qquad B=a,\qquad C=a-2.$

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   把判别式写成 a 的函数。

   $\Delta=a^{2}-4(1)(a-2)=a^{2}-4a+8.$

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   配方，让符号一目了然。 $-4$ 的一半是 $-2$，而 $(-2)^2=4$：

   $\Delta=\left(a^{2}-4a+4\right)+4=(a-2)^{2}+4.$

   展开回去得 $a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$，说明变形无误。

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   得出结论。 实数的平方永远非负，所以 $(a-2)^2\ge 0$，从而对任意实数 $a$ 都有

   $\Delta=(a-2)^{2}+4\ge 4>0$

   判别式严格为正——而且离零还有一段距离——所以方程恒有两个不相等的实根。

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   顺便看看最小值落在哪里。 判别式最小值 $\Delta=4$ 在 $a=2$ 处取到，此时方程为 $x^2+2x+0=0$，两根是 $x=0$ 和 $x=-2$：确实互不相等。