解不等式 x² − 2x − 3 < 0。

Step-by-step solution

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   什么都别做，先分解因式。 找两个数，乘积为 $-3$、和为 $-2$。乘积是负的，说明两数异号，$-3$ 和 $+1$ 正好满足：

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$

   于是不等式变成 $(x-3)(x+1)<0$。

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   找出临界点。

   $x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   它们把数轴分成 $(-\infty,-1)$、$(-1,3)$ 和 $(3,\infty)$；在每个区间内部，乘积的符号都不会改变。

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   每个区间取一个值试一下。 取 $x=-2$：$(-5)(-1)=5>0$。取 $x=0$：$(-3)(1)=-3<0$。取 $x=4$：$(1)(5)=5>0$。所以符号依次是正、负、正——只有中间那段为负。

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   从图像形状再确认一次。 二次项系数是 $+1$，抛物线开口向上：它在两根之间沉到 $x$ 轴以下，在两根之外始终在轴上方。这与符号检验完全吻合，而且一旦求出根，用图像判断更快。

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   端点要排除。 不等式是严格的，所以两个根本身——表达式恰好等于 $0$ 的地方——不在解集里：

   $-1<x<3,\qquad(-1,3)$

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   扫描验证。 在 $[-10,10]$ 上取 $4001$ 个点，用精确分数计算 $x^2-2x-3$ 并把符号与 $(-1,3)$ 对照，每一点都吻合 ✓。再补一个检验：顶点在 $x=1$（两根的中点），此处的值为 $1-2-3=-4$，这是该表达式能取到的最小值。