三次多项式 f(x) 的零点为 -3、10 和 6，且 x³ 的系数为 5。求 f(x) 的解析式。

Step-by-step solution

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   把每个零点变成一个因式。 因式定理告诉我们：$f(r) = 0$ 当且仅当 $(x - r)$ 整除 $f(x)$。所以零点 $-3$、$10$、$6$ 分别贡献因式 $(x+3)$、$(x-10)$、$(x-6)$。注意符号：零点 $-3$ 对应的是 $\bigl(x-(-3)\bigr) = (x+3)$。

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   别忘了那个待定的比例因子。 三个一次因式相乘已经是三次的了，但故事还没完：乘上任何非零常数，零点都不变。所以最一般的形式是

   $f(x) = a(x+3)(x-10)(x-6)$

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   用首项系数定出 $a$。 乘开以后，要凑出 $x^3$ 只能从每个因式里各取一个 $x$，所以 $x^3$ 项就是 $a \cdot x \cdot x \cdot x = ax^3$。与题目给出的 $x^3$ 系数对照：

   $a = 5 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = 5(x+3)(x-10)(x-6)$

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   展开成标准形式。 先把容易配对的两个因式相乘：

   $(x+3)(x-10) = x^2 - 7x - 30$

   再乘上剩下的那个因式：

   $(x^2 - 7x - 30)(x-6) = x^3 - 13x^2 + 12x + 180$

   最后把 $5$ 分配进去：

   $f(x) = 5x^3 - 65x^2 + 60x + 900$

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   验证三个零点确实使函数值为零。 把每个根代入标准形式，都有 $f(-3) = f(6) = f(10) = 0$，且 $x^3$ 的系数是 $5$，符合要求。因式形式和展开形式都是正确答案——因式形式一眼看出零点，标准形式一眼看出各项系数。