解方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.074296 = 0。

Step-by-step solution

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   先看清为什么三个根必然是「一大两小」。 在 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296=0$ 里，二次项系数把其余各项都甩开了好几个量级。由韦达定理，三根之和是 $245.711$，三根之积是 $-0.074296$——一个非常接近零的数。于是必然有一个根几乎独自扛下整个和，而另外两个要小到足以把乘积压得极小。看出这个结构，才能把问题拆成两个容易的子问题。

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   丢掉 $x^{3}$ 项，先求两个小根。 如果 $|x|$ 只有百分之几，那么 $x^{3}$ 的量级是 $10^{-5}$，跟 $245.711x^{2}$ 一比完全可以忽略。把它扔掉，剩下二次方程 $245.711x^{2}-2.764156x-0.074296=0,$ 它的判别式为 $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.074296)=80.6619362163,\qquad \sqrt{D}=8.9811990411.$ 再用求根公式得 $x\approx -0.012651129\quad\text{和}\quad x\approx 0.023900751.$

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   用一步牛顿迭代把这两个根修准。 被丢掉的 $x^{3}$ 项只会在小数点后第七位上挪动一点点，把牛顿迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ 用在完整的三次式上，收敛到 $x=-0.012650903\qquad\text{和}\qquad x=0.023902272.$ 与二次方程给出的估计相比，修正量只有 $2.3\times 10^{-7}$ 和 $1.5\times 10^{-6}$，这正是「丢掉 $x^{3}$」当初承诺的效果：被忽略项的量级是 $10^{-5}$，而 $245.711x^{2}$ 这一项的量级是 $10^{-1}$。

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   大根靠根之和求出来，别再硬套三次求根公式。 既然三根之和必须是 $245.711$，那么 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.012650903+0.023902272\right)=245.699748632.$ 把这个值代回 $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296$，结果在十二位有效数字上都是零。

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   用韦达的两条关系一起验算。 三个根 $-0.012650903$、$0.023902272$、$245.699748632$ 相加恰好是 $245.711000000$，相乘得 $-0.074296$，与要求的 $-c$ 吻合。这里真正管用的是乘积那一条：两个小根就算算错了，和的检验也可能照样通过，因为大根会自动把差额吸收掉——只有乘积才会把错误暴露出来。

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   写出解集。 $x=-0.012650903,\qquad x=0.023902272,\qquad x=245.699748632.$ 三个根都是实数，这与曲线的形状一致：它在零点略下方穿过一次坐标轴，在零点略上方再穿过一次，最后在 $245.7$ 那么远的地方穿过第三次。