把 x²y − 4xy + 4y 分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   先在三项之间找公因式。 每一项都恰好含一个 $y$，而 $x$ 没有公共的幂次（最后一项里根本没有 $x$）：

   $x^2y=y\cdot x^2,\qquad -4xy=y\cdot(-4x),\qquad 4y=y\cdot 4$

   所以最大公因式是 $y$。

2. 2

   把公因式提出来。

   $x^2y-4xy+4y=y\left(x^2-4x+4\right)$

   总是先做这一步，第二阶段才会轻松：括号里现在是首项系数为 1 的二次式。

3. 3

   认出括号里是完全平方。 $x^2=(x)^2$，$4=2^2$，中间项也满足 $2\cdot x\cdot 2=4x$，并带着所需的负号：

   $x^2-4x+4=(x-2)^2$

4. 4

   把两个阶段合起来。

   $x^2y-4xy+4y=y(x-2)^2$

   题目里的完全二字意味着两个阶段一个都不能省——$y(x^2-4x+4)$ 还算不上完全分解。

5. 5

   代值检验。 取 $x=5$、$y=3$：原式是 $75-60+12=27$，而 $y(x-2)^2=3\cdot 9=27$ $\checkmark$。