已知 f(x) = 2 − x^2，g(x) = x^2 + 4x − 60，求 (f + g)(x) 并确定它的定义域。

Step-by-step solution

1. 1

   用和函数的逐点定义。 对每个输入 $x$，

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\left(2-x^{2}\right)+\left(x^{2}+4x-60\right).$

   两个括号都是相加，去括号时不需要变号。

2. 2

   按次数把各项归类。

   $\underbrace{\left(-x^{2}+x^{2}\right)}_{\text{二次项}}+\underbrace{4x}_{\text{一次项}}+\underbrace{\left(2-60\right)}_{\text{常数项}}.$

3. 3

   逐组合并，注意这里的相消。 两个二次项恰好互为相反数：

   $-x^{2}+x^{2}=0,\qquad 2-60=-58,$

   于是

   $(f+g)(x)=4x-58.$

   两个二次函数相加通常仍是二次函数；这里首项系数恰好是 $-1$ 与 $+1$，所以次数降了下来。

4. 4

   定义域要从原函数读，不能从化简后的结果读。 和函数定义在两部分都有定义的地方。$f$ 与 $g$ 都是多项式函数，在整个 $\mathbb{R}$ 上有定义，所以

   $\text{定义域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

5. 5

   代入一个值检验。 当 $x=10$：$f(10)=2-100=-98$，$g(10)=100+40-60=80$，所以 $f(10)+g(10)=-18$；而 $4(10)-58=-18$。两个式子吻合。