解方程 3x⁴ + 8x³ − 4x² − 16x = 0。

Step-by-step solution

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   先提出公因式 x。 每一项都带一个 $x$：

   $x\left(3x^3 + 8x^2 - 4x - 16\right) = 0$

   所以 $x = 0$ 立刻就是一个根，其余的根来自那个三次因式。

2. 2

   这里千万不要迷信分组分解。 看着很顺的一步是 $\left(3x^3 + 8x^2\right) + \left(-4x - 16\right) = x^2(3x+8) - 4(x+4)$。两个括号分别是 $3x+8$ 和 $x+4$——它们并不相同，所以分组合不上。要把第二个写成 $-4(3x+8)$，那意味着 $-12x - 32$ 而不是 $-4x - 16$；正是这个失误让这道方程常被答成 $x = -\tfrac83,\,\pm 2$。

3. 3

   换成去找三次因式的有理根。 候选是 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 16$、$e \mid 3$。试 $x = -2$：

   $3(-8) + 8(4) - 4(-2) - 16 = -24 + 32 + 8 - 16 = 0$

   所以 $(x+2)$ 整除这个三次式。

4. 4

   做除法，再把商分解。 用 $(x+2)$ 除 $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16$，得 $3x^2 + 2x - 8$，它可以分解为 $(3x - 4)(x + 2)$。于是

   $3x^3 + 8x^2 - 4x - 16 = (x+2)^2(3x-4)$

   完整的因式分解是

   $3x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 16x = x(x+2)^2(3x-4)$

5. 5

   读出各个根。 令每个因式为零：

   $x = 0, \qquad x = -2 \ \text{（二重根）}, \qquad x = \frac{4}{3}$

6. 6

   验算。 把 $x(x+2)^2(3x-4)$ 展开，系数正好回到 $3,\ 8,\ -4,\ -16,\ 0$。直接代入：$f(0) = 0$，$f(-2) = 48 - 64 - 16 + 32 = 0$，$f(4/3)$ 在 $10^{-14}$ 以内为 $0$。因为 $x = -2$ 是二重根，图像在那里只与坐标轴相切而不穿过。