若 x = 1/(√5 − 2)，y = 1/(√5 + 2)，求 (1) x + y 与 xy；(2) x² + y²。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个分母都有理化。 分子分母同乘共轭式，分母立刻变成 $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=1$：

   $x=\frac{1}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\sqrt5+2,\qquad y=\frac{1}{\sqrt5+2}\cdot\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5-2}=\sqrt5-2$

   两个分母都正好等于 $1$，这也是后面数字如此干净的原因。

2. 2

   (1) 先求和。 那两个 $\pm 2$ 互相抵消：

   $x+y=\left(\sqrt5+2\right)+\left(\sqrt5-2\right)=2\sqrt5$

3. 3

   再求积。 这是一个平方差：

   $xy=\left(\sqrt5+2\right)\left(\sqrt5-2\right)=5-4=1$

   注意 $x$ 与 $y$ 互为倒数——从它们最初的定义式里就能一眼看出来。

4. 4

   (2) 用对称式恒等式，别去逐项平方。

   $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$

   这样就不用展开两个根式的平方，先求 $x+y$ 和 $xy$ 的意义正在于此。

5. 5

   代入。

   $x^{2}+y^{2}=\left(2\sqrt5\right)^{2}-2(1)=20-2=18$

   $\boxed{x+y=2\sqrt5,\quad xy=1,\quad x^{2}+y^{2}=18}$

6. 6

   直接验算一遍。 $x=4.23607$，$y=0.23607$：$x+y=4.47214=2\sqrt5$ ✓，$xy=1.00000$ ✓，$x^{2}+y^{2}=17.9443+0.0557=18.000$ ✓。同理，用恒等式 $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ 可得 $\left(2\sqrt5\right)^{3}-3\left(2\sqrt5\right)=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$。