化简 6x 乘 (x − y) 的平方，加上 3 乘 (y − x) 的立方。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清两个括号的关系。 它们互为相反数：$y-x=-(x-y)$。这一点很关键，因为乘方时符号的去向取决于指数的奇偶：

   $(y-x)^2=(x-y)^2\quad\text{但}\quad (y-x)^3=-(x-y)^3$

   偶次幂把负号吸收掉，奇次幂把它保留下来。

2. 2

   把所有东西都写成 $(x-y)$ 的形式。 把立方的那条关系代入：

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=6x(x-y)^2-3(x-y)^3$

   现在两项都由同一个括号搭起来，这才使提公因式成为可能。

3. 3

   找出并提取公因式。 系数 $6$ 与 $3$ 有公因数 $3$，括号的较低次幂是 $(x-y)^2$，所以最大公因式是 $3(x-y)^2$：

   $6x(x-y)^2-3(x-y)^3=3(x-y)^2\bigl[2x-(x-y)\bigr]$

4. 4

   化简括号里剩下的部分。

   $2x-(x-y)=2x-x+y=x+y$

   减号把括号里两个符号都翻过来 —— 写成 $2x-x-y=x-y$ 是这里的典型错误。

5. 5

   写出结果并验证。

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=3(x-y)^2(x+y)$

   取 $x=3$、$y=1$ 检验：原式为 $6(3)(2)^2+3(-2)^3=72-24=48$，分解后的形式给出 $3(2)^2(4)=48$ ✓。