求 x⁷ + x⁵ + x³ + x = 4.66 的实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先说明实根恰好只有一个。 记 $f(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x$。它的导数 $f'(x) = 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ 对任意实数 $x$ 都成立，所以 $f$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。严格递增的连续函数取到每个值最多一次，而由于 $f \to \pm\infty$，就是恰好一次。不用做任何因式分解，就已经知道答案是唯一的。

2. 2

   把这个根夹住。

   $f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, \qquad f(1.1) = 1.948717 + 1.610510 + 1.331 + 1.1 = 5.990227$

   因为 $4 < 4.66 < 5.990227$，所以根落在 $(1,\ 1.1)$ 内。

3. 3

   把区间收窄。

   $f(1.03) = 4.511875, \qquad f(1.04) = 4.697449$

   目标值 $4.66$ 夹在这两者之间，所以根在 $(1.03,\ 1.04)$ 内——而且更靠近 $1.04$，因为 $4.66$ 离 $4.697$ 比离 $4.512$ 更近。

4. 4

   二分到足够精度。 反复把区间对折（或者用上面那个导数做牛顿迭代），收敛到

   $x \approx 1.038016$

5. 5

   验算，并注意需要多少位精度。 $f(1.038016) = 4.660006$，精确到六位小数。相比之下 $f(1.038) = 4.659705$，$f(1.03805) = 4.660645$，可见答案必须保留到大约六位有效数字——在根附近，函数值对 $x$ 的变化率约为 $18.8$，所以 $x$ 上 $10^{-6}$ 的误差会带来 $f$ 上 $2\times10^{-5}$ 的误差。