解不等式 4x2 - 4x + 1 < 0。

Step-by-step solution

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   别急着硬分解，先看是不是完全平方。 首尾两项都是平方式，$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，而中间项正好是 $-2\cdot(2x)\cdot 1 = -4x$。这正是 $a^2-2ab+b^2$ 的形状，所以 $4x^2-4x+1=(2x-1)^2.$

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   再用判别式确认一下。 $\Delta = (-4)^2-4(4)(1) = 16-16 = 0$。判别式为零意味着有一个重根，换句话说这个二次式就是一个完全平方，只有单一的根 $x=\tfrac12$。

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   利用平方的符号性质。 对任意实数 $x$ 都有 $(2x-1)^2 \ge 0$。实数的平方可以等于零，但永远不可能严格小于零，所以 $(2x-1)^2 < 0$ 这个要求根本无法满足。

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   于是解集为空。 $4x^2-4x+1<0 \iff (2x-1)^2<0 \iff \varnothing.$ 从图像上看，这条抛物线开口向上，只在 $x=\tfrac12$ 处与 $x$ 轴相切，从不落到轴的下方。

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   对比相邻的几种情形，别把「严格」这一点丢了。 $(2x-1)^2 \le 0$ 只有唯一解 $x=\tfrac12$；$(2x-1)^2 > 0$ 的解是除 $x=\tfrac12$ 以外的全体实数；而 $(2x-1)^2 \ge 0$ 对一切实数都成立。只有严格的 $<$ 才给出空集。