解方程 (x² + 4x − 12) 乘以 √(x + 5) 等于 0，并求它所有根的和。

Step-by-step solution

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   定义域要一开始就求，不能最后再补。 二次根式只有在被开方数非负时才有意义，所以在解方程之前先写下：

   $x+5\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -5$

   先做这一步，才能防止增根偷偷混进最后的求和里。

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   用零因子性质。 乘积等于零，当且仅当其中某个因式等于零，所以要分别解 $x^2+4x-12=0$ 和 $\sqrt{x+5}=0$。初学者常常漏掉第二个分支，因为「根号等于零」看上去不太像一个需要解的方程。

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   解二次的那个因式。

   $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-6 \ \text{ 或 } \ x=2$

   但 $x=-6$ 不满足定义域 $x\ge-5$，应当舍去。只有 $x=2$ 保留下来。

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   解根号的那个因式。

   $\sqrt{x+5}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-5$

   这个值恰好落在定义域的端点上，因此是合法的：在 $x=-5$ 处根式有意义，且取值为 $0$。

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   汇总所有根并相加。 解集是 $\{-5,\ 2\}$，所以

   $-5+2=-3$

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   把两个根代回原方程检验。 当 $x=2$：$(4+8-12)\sqrt{7}=0\cdot\sqrt7=0$。当 $x=-5$：$(25-20-12)\sqrt{0}=(-7)(0)=0$。两个都得到 $0$；而 $x=-6$ 根本没法代进去检验，因为 $\sqrt{-1}$ 在实数范围内没有意义。