某人一共花 240 买笔。如果同样的钱能多买一支，那么每支笔的平均价格会便宜 1。他一共买了多少支笔？

Step-by-step solution

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   把未知数选在能让价格好写的那一边。 设 $x$ 为实际买到的笔的支数。那么实际的平均单价是

   $\frac{240}{x}$

   把支数而不是单价设为未知数，正是这道题的代数能压在一个变量里的原因。

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   写出假设情形下的单价。 同样的钱多买一支，支数变成 $x + 1$，单价变成

   $\frac{240}{x+1}$

   总价不变而笔更多，单价自然更低，所以第二个式子是两者中较小的那个。

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   把这个比较写成方程。 假设情形下的单价比实际单价少 $1$，所以实际单价减去假设单价等于 $1$：

   $\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1$

   这个减法的方向很要紧 —— 写反了会得到 $-1$，从而根本没有正数解。

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   通分并去分母。

   $240\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) = 240 \cdot \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{240}{x(x+1)} = 1$

   于是

   $x(x+1) = 240 \ \Longrightarrow \ x^2 + x - 240 = 0$

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   分解因式，解这个二次方程。 积为 $-240$、和为 $1$ 的两个数是 $16$ 和 $-15$：

   $x^2 + 16x - 15x - 240 = x(x+16) - 15(x+16) = (x+16)(x-15) = 0$

   $x = -16 \quad \text{或} \quad x = 15$

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   舍去不合题意的根，再回头检验。 笔的支数不可能是负数，所以舍去 $x = -16$，取 $x = 15$。回到题意核对：$240/15 = 16$，每支 $16$；多买一支后 $240/16 = 15$，每支 $15$ —— 正好便宜 $1$。所以一共买了 15 支笔。