解方程 7(x + 1/x) − 2(x² + 1/x²) = 9。

Step-by-step solution

1. 1

   先认出倒数对称性。 把 $x$ 换成 $\tfrac1x$ 方程不变，这就是提示我们换元的信号：

   $t=x+\frac1x$

   另外要一开始就把 $x=0$ 从定义域里排除掉。

2. 2

   把第二个括号也用 t 表示。 把换元式两边平方：

   $t^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$

   最容易漏掉的细节就是贡献出这个 $+2$ 的交叉项。

3. 3

   改写并整理方程。

   $7t-2\left(t^{2}-2\right)=9\ \Longrightarrow\ 7t-2t^{2}+4=9\ \Longrightarrow\ 2t^{2}-7t+5=0$

4. 4

   解出 t。

   $(2t-5)(t-1)=0\quad\Longrightarrow\quad t=\frac52\ \text{或}\ t=1$

5. 5

   把每个 t 值还原回 x。 当 $t=\tfrac52$：

   $x+\frac1x=\frac52\ \Longrightarrow\ 2x^{2}-5x+2=0\ \Longrightarrow\ (2x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=\tfrac12\ \text{或}\ x=2$

   当 $t=1$：

   $x+\frac1x=1\ \Longrightarrow\ x^{2}-x+1=0$

   判别式是 $1-4=-3<0$：没有实数解。这个舍去是必然的，因为对实数 $x\neq 0$，$x+\tfrac1x$ 恒满足 $|t|\ge 2$，而 $t=1$ 违背了这一点。

   $\boxed{x=2\ \text{或}\ x=\tfrac12}$

6. 6

   两个根都检验一遍。 取 $x=2$：$x+\tfrac1x=2.5$，$x^{2}+\tfrac{1}{x^{2}}=4.25$，于是 $7(2.5)-2(4.25)=17.5-8.5=9$ ✓。取 $x=\tfrac12$ 时这两个量的值完全相同（倒数对称性），所以检验过程一模一样 ✓。