(3x⁴ − 4x² + 8x − 1) ÷ (x − 2) 的商是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   先把被除式的每一个次数都写全。 长除法是按次数对齐的，缺掉的那一项必须用系数 $0$ 占位。这里没有 $x^3$ 项，所以要写成

   $3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

   漏掉这一步，是这道题商算错的头号原因。

2. 2

   首项相除，得到商的第一项。 长除法每一轮只盯着两边的首项：

   $\frac{3x^4}{x} = 3x^3$

   乘回去再相减：

   $3x^3(x-2) = 3x^4 - 6x^3$

   $(3x^4 + 0x^3 - 4x^2 + \ldots) - (3x^4 - 6x^3) = 6x^3 - 4x^2 + 8x - 1$

3. 3

   对新的首项重复同样的动作。 现在剩下的部分以 $6x^3$ 打头：

   $\frac{6x^3}{x} = 6x^2, \qquad 6x^2(x-2) = 6x^3 - 12x^2$

   相减之后剩下

   $8x^2 + 8x - 1$

4. 4

   再来两轮就除完了。 从 $8x^2$ 开始：

   $\frac{8x^2}{x} = 8x, \qquad 8x(x-2) = 8x^2 - 16x \ \Rightarrow\ 24x - 1$

   再从 $24x$ 开始：

   $\frac{24x}{x} = 24, \qquad 24(x-2) = 24x - 48 \ \Rightarrow\ 47$

   剩下的 $47$ 是 $0$ 次的，次数已经低于除式，除法到此为止。

5. 5

   用带余除法的恒等式检验。 正确的除法必须满足 被除式 $=$ 除式 $\times$ 商 $+$ 余数：

   $(x-2)(3x^3 + 6x^2 + 8x + 24) + 47 = 3x^4 - 4x^2 + 8x - 1$

   把左边展开，逐项都能还原成被除式。等价地，用余数定理算 $f(2) = 48 - 16 + 16 - 1 = 47$，与余数完全吻合。