x 取哪些值时，分式 (2 − 3x)/(x(x − 1)) 为正？

Step-by-step solution

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   先找出所有可能变号的点。 它们就是分子和分母的零点：

   $2-3x=0\Rightarrow x=\tfrac23;\qquad x=0;\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   这三个点把数轴分成四段：$(-\infty,0)$、$\left(0,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,1\right)$ 和 $(1,\infty)$。

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   检验 x < 0 这一段（取 $x=-1$）。分子 $2-3(-1)=5>0$；分母 $(-1)(-2)=2>0$（负负得正）。所以分式为正 ✓。

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   检验 0 < x < 2/3（取 $x=0.5$）。分子 $2-1.5=0.5>0$；分母 $(0.5)(-0.5)=-0.25<0$。所以分式为负 ✗。

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   检验 2/3 < x < 1（取 $x=0.8$）。分子 $2-2.4=-0.4<0$；分母 $(0.8)(-0.2)=-0.16<0$。负除以负得正 ✓。

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   检验 x > 1（取 $x=2$）。分子 $2-6=-4<0$；分母 $(2)(1)=2>0$。所以分式为负 ✗。

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   把为正的区间收拢起来。 三个临界点全部要排除——$x=\tfrac23$ 使分式等于零（不是正数），而 $x=0,1$ 使分式无定义：

   $\boxed{\{x<0\}\cup\left\{\tfrac23<x<1\right\}}$

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   用「逐点变号」的规律复核一遍。 三个因式都是单因式（奇重数），所以在每个临界点处符号必然改变。从左往右读出的符号模式是 $+,-,+,-$——与四个测试点算出来的完全一致，说明没有哪一段的符号判错。