f(x) 是三次多项式，(x + 1)f(x) 除以 x³ + 2 的余式是 x + 2。已知 f(0) = 4，求 f(2)。

Step-by-step solution

1. 1

   先写出带余除法的恒等式。 「除以 $x^3+2$ 余 $x+2$」就是说存在多项式 $Q(x)$ 使得

   $(x+1)f(x)=(x^3+2)Q(x)+x+2$

   题目条件的全部信息就浓缩在这一个恒等式里，后面所有推导都从它出发。

2. 2

   确定 $Q$ 的次数。 因为 $f$ 是三次的，$(x+1)f(x)$ 是四次的。右边这个四次只能由 $(x^3+2)Q(x)$ 提供，所以 $\deg Q=1$。设

   $Q(x)=ax+b$

   这道题之所以能解，正是因为这样一来只剩两个未知数。

3. 3

   利用左边含有因式 $x+1$。 左边在 $x=-1$ 处为零，所以右边也必须为零。把 $x=-1$ 代入 $(x^3+2)(ax+b)+x+2$：

   $(-1+2)(-a+b)+1=0\;\Longrightarrow\;b-a+1=0\;\Longrightarrow\;b=a-1$

4. 4

   利用 $f(0)=4$。 代入 $x=0$，左边是 $(0+1)f(0)=4$，右边是 $(0+2)(b)+0+2=2b+2$，所以

   $2b+2=4\;\Longrightarrow\;b=1\;\Longrightarrow\;a=2$

   于是 $Q(x)=2x+1$。

5. 5

   代入 $x=2$ 求值。 现在 $Q$ 已知，

   $(2+1)f(2)=(2^3+2)(2\cdot 2+1)+2+2=10\cdot 5+4=54$

   所以 $3f(2)=54$，即 $f(2)=18$。

6. 6

   把 $f$ 显式求出来做检验。 展开得 $(x+1)f(x)=2x^4+x^3+5x+4$。再除以 $x+1$：

   $f(x)=2x^3-x^2+x+4$

   确实 $f(0)=4$，$f(2)=16-4+2+4=18$；并且 $2x^4+x^3+5x+4-(x^3+2)(2x+1)=x+2$ 分毫不差。