解方程 x² + 5x + 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先摆好因式分解的搜索目标。 对于首项系数为 1 的二次式 $x^2+bx+c$，我们要找两个数，它们的积是 $c=6$、和是 $b=5$。由于 $c>0$ 且 $b>0$，这两个数必须都是正的。

2. 2

   找出这一对数。 $6$ 的正因数对是 $(1,6)$，和为 $7$；以及 $(2,3)$，和为 $5$。第二对合用：

   $2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5$

3. 3

   写出因式分解。

   $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0$

4. 4

   用「乘积为零」的性质。 若干实数之积为零，只能是其中某个因式为零：

   $x+2=0\quad\text{或}\quad x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\ \text{或}\ x=-3$

   两支都要保留——这个方程有两个互不相同的根。

5. 5

   都验一遍，并用韦达定理确认。 $(-2)^2+5(-2)+6=4-10+6=0$ ✓，$(-3)^2+5(-3)+6=9-15+6=0$ ✓。两根之和是 $-5=-b$，两根之积是 $6=c$，与理论一致。