化简 sqrt(3 + sqrt 5) + sqrt(3 − sqrt 5)。

Step-by-step solution

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   先确认式子有意义，再给它取个名字。 因为 $\sqrt5\approx 2.236<3$，所以 $3+\sqrt5$ 和 $3-\sqrt5$ 都是正数，两个平方根都是正实数。设

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   给这个和取个名字，才好走下一步：嵌套根式很少能逐项化简，但它的平方往往可以。

2. 2

   用 $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ 把它整体平方。 每个平方根一平方就消失了：

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

3. 3

   先把两块容易的算掉。 相加时 $\sqrt5$ 项相消，而根号内剩下的乘积是一个平方差：

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   之所以要构造这一对共轭式，正是为了得到这种相消。

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   把 $S^2$ 拼出来。

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

5. 5

   选对根的符号。 平方可能引入错误的符号，所以要回到原式来判断：$S$ 是两个正数之和，因此 $S>0$，于是

   $S=\sqrt{10}$

   数值上 $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$。✓