解方程 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0。

Step-by-step solution

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   设成两个二次式相乘，首项系数 3 放在其中一个因式里。 由于 $3$ 是质数，整数范围内的分解只能形如

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)$

   且 $bd=63$。展开后逐项对比系数，得到四个条件

   $3c+a=24,\quad 3d+ac+b=82,\quad ad+bc=136,\quad bd=63$

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   在 63 的因数对里搜索。 试 $b=7,\ d=9$，由第一个和第三个条件解得 $a=12,\ c=4$；此时第二个条件是 $27+48+7=82$ ✓，第三个条件是 $108+28=136$ ✓。四个条件同时成立，所以

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+12x+7\right)\left(x^{2}+4x+9\right)$

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   猜出来的分解式，用之前一定要展开回去核对。 这可不是可有可无的例行公事：像 $3\left(x^{2}+6x+3\right)\left(x^{2}+6x+7\right)$ 这种看着很像的猜测，展开是 $3x^{4}+36x^{3}+138x^{2}+180x+63$，只有首项和常数项对得上，因此是错的。真正能识破它的，正是核对中间那两个系数。

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   解第一个二次方程。 对 $3x^{2}+12x+7=0$：

   $x=\frac{-12\pm\sqrt{144-84}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{60}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt{15}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{15}}{3}$

   数值上 $x\approx-0.70901$ 与 $x\approx-3.29099$；判别式 $60$ 为正，所以两根都是实根。

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   解第二个二次方程。 对 $x^{2}+4x+9=0$，判别式是 $16-36=-20<0$，所以

   $x=\frac{-4\pm\sqrt{-20}}{2}=-2\pm i\sqrt5$

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   汇总四个根并做数值验证。

   $x=\frac{-6+\sqrt{15}}{3},\ \frac{-6-\sqrt{15}}{3},\ -2+i\sqrt5,\ -2-i\sqrt5$

   用数值求根程序直接解原四次方程，得到 $-0.70901$、$-3.29099$ 和 $-2\pm 2.23607i$，完全吻合 ✓（$\sqrt5=2.23607$）。