解不等式 4x^2 - 4x + 1 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   在二次项系数不是 1 的情形下认出完全平方结构。 这里 $4x^2=(2x)^2$、$1=1^2$，而中间项也正好对得上：

   $2\cdot(2x)\cdot 1=4x\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

2. 2

   用判别式确认。 $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$，所以只有一个二重根，且左边不会变号。

3. 3

   把问题归结为一个关于平方的判断。

   $(2x-1)^2>0\iff 2x-1\neq 0$

4. 4

   解出那个要排除的方程。

   $2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12$

   于是除 $\tfrac12$ 之外的每一个实数都满足这个不等式。

5. 5

   检验，并与系数为 1 的版本对照。 取 $x=\tfrac12$：$1-2+1=0$，并不 $>0$ $\checkmark$。取 $x=0$：$1>0$ $\checkmark$。这道题的结构和 $x^2-2x+1>0$ 完全一样，只是二重根从 $1$ 挪到了 $\tfrac12$，因为底数是 $2x-1$ 而不是 $x-1$。