已知 2x − y = 480 与 2y − x + m/3 = 0，用 m 表示 x 和 y，并求使 x + y ≤ 8m/3 成立的 m 的取值范围。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个方程和那个不等式分开看。 两个方程对每个 $m$ 都唯一确定 $x$ 和 $y$；不等式的作用只是筛出哪些 $m$ 可以接受。只能按「先解方程、再验不等式」这个顺序做，因为单靠不等式根本定不出 $x$ 和 $y$。

2. 2

   把第二个方程整理成标准形式。 由 $2y-x+\dfrac{m}{3}=0$ 得

   $-x+2y=-\frac{m}{3}$

3. 3

   代入求 $x$，盯住符号。 由第一个方程得 $y=2x-480$；代入后

   $-x+2(2x-480)=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 3x-960=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 9x-2880=-m$

   现在小心地分离出来：$9x=2880-m$，于是

   $x=\frac{2880-m}{9}$

   $9x-2880=-m$ 的右边是 $-m$，两边加上 $2880$ 得到的是 $2880-m$，不是 $m-2880$。这一个符号就是整道题的全部难点。

4. 4

   回代求 $y$。

   $y=2x-480=\frac{5760-2m}{9}-\frac{4320}{9}=\frac{1440-2m}{9}$

   拿 $m=0$ 验一下：$x=320$，$y=160$，确实有 $2(320)-160=480$ ✓ 以及 $2(160)-320+0=0$ ✓。

5. 5

   算出 $x+y$ 再套不等式。

   $x+y=\frac{2880-m+1440-2m}{9}=\frac{4320-3m}{9}=\frac{1440-m}{3}$

   于是条件 $x+y\le\dfrac{8m}{3}$ 变成

   $\frac{1440-m}{3}\le\frac{8m}{3}\ \Longrightarrow\ 1440-m\le 8m\ \Longrightarrow\ 1440\le 9m\ \Longrightarrow\ m\ge 160$

6. 6

   在临界点和两侧各验一次。 当 $m=160$：$x=\tfrac{2720}{9}$，$y=\tfrac{1120}{9}$，$x+y=\tfrac{1280}{3}$，而 $\tfrac{8m}{3}=\tfrac{1280}{3}$ —— 取等号，所以 $160$ 包含在内 ✓。当 $m=900$：$x+y=180\le 2400$ ✓。当 $m=0$：$x+y=480$ 而 $\tfrac{8m}{3}=0$，不等式不成立 ✓，这正好印证了小的 $m$ 被排除掉。