解方程 (x² − 5x)·√(4 + 3x − x²) = 0，并求它的解之和。

Step-by-step solution

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   动手解之前先求定义域。 根号内必须非负：$4+3x-x^{2}\ge 0$，即 $x^{2}-3x-4\le 0$，即 $(x-4)(x+1)\le 0$，所以 $x\in[-1,4].$ 落在这个区间之外的候选值都不是原方程的解，无论后面的代数运算算出什么。

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   使用零乘积法则。 乘积为零当且仅当某个因式为零，所以要么 $x^{2}-5x=0$，要么 $\sqrt{4+3x-x^{2}}=0$。

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   解多项式因式，再用定义域筛。 $x^{2}-5x=x(x-5)=0$ 给出 $x=0$ 或 $x=5$。由于 $5\notin[-1,4]$，只有 $x=0$ 留下；在 $x=5$ 处根号内会是 $4+15-25=-6<0$。

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   解根式因式。 平方根为零当且仅当被开方式为零：$4+3x-x^{2}=0$，即 $x^{2}-3x-4=0$，即 $(x-4)(x+1)=0$，得 $x=4$ 与 $x=-1$。这两个恰好是定义域的两个端点，因此都可以取到。

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   汇总并求和。 解集是 $\{-1,0,4\}$，所求的和为 $-1+0+4=3$。把每个值代回原式，分别得到 $6\cdot\sqrt{0}$、$0\cdot 2$ 和 $-4\cdot 0$，全都为零，所以三个解都是真解。