分解 4AB² − 4A²B − B³。

Step-by-step solution

1. 1

   先提出公共的字母因子。 每一项都至少含一个 $B$（次数分别是 $2,1,3$），而最后一项里没有 $A$，所以公因式只有 $B$。系数 $4,-4,-1$ 除 $1$ 以外没有公共的数字因数：

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\left(4AB-4A^2-B^2\right)$

2. 2

   把括号按 A 的降幂重排。 写成 $-4A^2+4AB-B^2$ 后结构就看得清了——首项系数是负的，这提示我们应该把一个负号提出来。

3. 3

   提出负号。

   $4AB-4A^2-B^2=-\left(4A^2-4AB+B^2\right)$

   括号里三项的符号全部翻转。跳过这一步，往往就是看不出完全平方的原因。

4. 4

   认出完全平方。 对 $4A^2-4AB+B^2$：两端分别是 $(2A)^2$ 和 $B^2$，中间项是 $-2\cdot(2A)\cdot B=-4AB$ ✓。所以

   $4A^2-4AB+B^2=(2A-B)^2$

5. 5

   把分解式拼回去。

   $4AB^2-4A^2B-B^3=B\cdot\left[-(2A-B)^2\right]=-B\left(2A-B\right)^2$

   平方会抹掉符号，因此 $(2A-B)^2=(B-2A)^2$，写成 $-B(B-2A)^2$ 也是同一个答案。

6. 6

   看看这个形式还告诉了我们什么。 因为 $(2A-B)^2\ge0$ 恒成立，整个式子的符号总与 $B$ 相反：$B>0$ 时为负，$B<0$ 时为正，$B=0$ 或 $B=2A$ 时为零。

7. 7

   数值验证。 在 $[-5,5]$ 上随机取 $60$ 组 $(A,B)$，把原式与 $-B(2A-B)^2$ 逐点比较，每一点都在机器精度内吻合 ✓。