求 C = 8x³ + 12x³ + 6x + 1 在 x = 1/2 时的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先合并同类项。 前两项都带 $x^{3}$，可以直接相加：

   $8x^{3}+12x^{3}=20x^{3},\qquad C=20x^{3}+6x+1.$

   先化简再代入，$\tfrac12$ 的立方只需要算一次，而不是算两次。

2. 2

   把 $x=\tfrac12$ 代入三次项。

   $\left(\frac12\right)^{3}=\frac18,\qquad 20\cdot\frac18=\frac{20}{8}=\frac52.$

3. 3

   代入一次项。

   $6\cdot\frac12=3.$

4. 4

   把三部分加起来。

   $C=\frac52+3+1=\frac52+4=\frac52+\frac82=\frac{13}{2}=6.5.$

5. 5

   留意那个「只差一点」的陷阱。 如果中间那一项是 $12x^{2}$ 而不是 $12x^{3}$，整个式子就变成了

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3},$

   一个完全立方，它在 $x=\tfrac12$ 处的值是 $(1+1)^{3}=8$，而不是 $\tfrac{13}{2}$。两者并不相同，所以在动用因式分解的捷径之前，务必先看清第二项的指数。