解方程 4.08x² − 652.8x + 10236 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清系数，选定方法。 这里 $a=4.08$，$b=-652.8$，$c=10236$。小数系数让「看一眼就分解」这条路走不通，所以用

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

2. 2

   一次算一个乘积，把判别式算出来。 每一块都是有限小数，所以到这里还不需要做任何舍入：

   $b^{2}=652.8^{2}=426147.84,\qquad 4ac=4(4.08)(10236)=16.32\times 10236=167051.52$

   $b^{2}-4ac=426147.84-167051.52=259096.32$

   它是正的，所以有两个不相等的实根。

3. 3

   开平方。

   $\sqrt{259096.32}=509.0150489\ldots$

   它接近 $509$，但并不等于 $509$——在这里把它舍成整数 $509$，会让两个根在第三位小数上都跑偏，所以要多留几位。

4. 4

   代入公式。 其中 $2a=8.16$，$-b=652.8$：

   $x=\frac{652.8\pm 509.0150489}{8.16}$

   $x_{1}=\frac{1161.8150489}{8.16}\approx 142.37930,\qquad x_{2}=\frac{143.7849511}{8.16}\approx 17.62070$

5. 5

   去掉小数，还原精确形式。 把原方程乘 $25$ 再除以 $6$，得到整系数方程 $17x^{2}-2720x+42650=0$，它的判别式是 $4498200=2^{3}3^{3}5^{2}7^{2}\cdot 17$，于是 $\sqrt{4498200}=210\sqrt{102}$，从而

   $x=\frac{1360\pm 105\sqrt{102}}{17}$

6. 6

   用韦达定理验算。 两根之和应为 $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{652.8}{4.08}=160$，而 $142.37930+17.62070=160.00000$，正好吻合。两根之积应为 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{10236}{4.08}=\dfrac{42650}{17}=2508.8235$，而 $142.37930\times 17.62070=2508.8235\ \checkmark$