计算以 (19,5,7,8)、(18,4,4,4)、(9,1,2,1)、(9,2,3,4) 为行的 4x4 矩阵的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   用第 3 行来处理第一列。 第 $3$ 行的首元是 $9$，其余各行的首元是 $19$、$18$、$9$。减去第 $3$ 行的若干倍（这个操作保持行列式不变）：

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\9&1&2&1\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

   注意 $19-18=1$，所以第一列还没有完全消干净 —— 还需要一步。

2. 2

   用新的首元 1 把这一列消完。

   $R_3\leftarrow R_3-9R_1\quad\Longrightarrow\quad (0,\ 1-27,\ 2-27,\ 1-54)=(0,-26,-25,-53)$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\0&-26&-25&-53\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

3. 3

   按第一列展开。 只剩下首元 $1$，其代数余子式符号为 $+$：

   $\det=1\cdot\begin{vmatrix}2&0&2\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}$

4. 4

   化简并计算这个三阶行列式。 从第一行提出公因数 $2$：

   $2\begin{vmatrix}1&0&1\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}=2\Big[1(-75+53)-0+1(-26+25)\Big]=2\big[-22-1\big]=2(-23)=-46$

   $\boxed{-46}$

5. 5

   与姊妹题的数量级对照一下。 那个非常相似的矩阵（各行为 $(18,5,7,8),(18,3,4,4),(9,1,1,1),(9,2,3,4)$）的行列式是 $9$；这里只改了四个元素，值就变成了 $-46$，连符号都翻了。因为行列式是交错的多重线性函数，两个值之间不应指望存在什么平滑的关系 —— 每一个都必须独立算过。