计算以 (18,5,7,8)、(18,3,4,4)、(9,1,1,1)、(9,2,3,4) 为行的 4x4 矩阵的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   先化简，再展开。 对一个 $4\times 4$ 行列式硬套代数余子式展开，需要算四个 $3\times 3$ 行列式。而把某一行的倍数加到另一行上不改变行列式的值，所以先造出一列只有一个非零元，代价要小得多。

2. 2

   用第 3 行把第一列消零。 第 $3$ 行的首元是 $9$，其余各行的首元是 $18$、$18$、$9$，于是

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   得到

   $\begin{vmatrix}0&3&5&6\\0&1&2&2\\9&1&1&1\\0&1&2&3\end{vmatrix}$

3. 3

   按第一列展开。 只有位置 $(3,1)$ 的元素 $9$ 存活下来，其代数余子式符号为 $(-1)^{3+1}=+1$：

   $\det=9\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}$

   （这个余子式保留的是化简后矩阵的第 $1,2,4$ 行与第 $2,3,4$ 列。）

4. 4

   算这个 3×3 余子式。 用第 $3$ 行减去第 $2$ 行得到 $(0,0,1)$，再按这一行展开：

   $\begin{vmatrix}3&5&6\\1&2&2\\0&0&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}3&5\\1&2\end{vmatrix}=3(2)-5(1)=1$

5. 5

   乘回去。

   $\det=9\times 1=9$

   $\boxed{9}$

6. 6

   用沿第三行直接展开来验算。 对原矩阵沿 $(9,1,1,1)$ 展开，按相应符号得 $9M_{31}-1\cdot M_{32}+1\cdot M_{33}-1\cdot M_{34}$；把它算完同样得到 $9$。两条独立路径给出相同结果，正好检验了每一步行变换的符号都没搞错。