用 x² − 12x + 5 除以 3x + 9，求商和余数。

Step-by-step solution

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   先做好商里出现分数的心理准备。 除式的首项是 $3x$，被除式的首项是 $x^2$，所以商的第一项是 $\dfrac{x^2}{3x}=\dfrac{x}{3}$。不要先把除式里的 $3$ 提出来——那样会改变“余数”的含义。

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   第一轮。 乘回去：$\dfrac{x}{3}(3x+9)=x^2+3x$。相减：$(x^2-12x+5)-(x^2+3x)=-15x+5.$

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   第二轮。 $\dfrac{-15x}{3x}=-5$。乘回去：$-5(3x+9)=-15x-45$。相减：$(-15x+5)-(-15x-45)=50.$

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   判断什么时候该停。 常数 $50$ 的次数低于 $3x+9$，所以商是 $\dfrac{x}{3}-5$，余数是 $50$。

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   用除法恒等式验算。 $\left(\frac{x}{3}-5\right)(3x+9)+50=x^2+3x-15x-45+50=x^2-12x+5.$