对哪些指数 n 来说 a^n + b^n 可以因式分解？分解式又是什么？

Step-by-step solution

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   代入 $a=-b$ 来判断 $a+b$ 是不是因式。 由因式定理，$(a+b)$ 整除这个式子，当且仅当把 $a=-b$ 代进去结果为零：

   $(-b)^{n}+b^{n}=\begin{cases}-b^{n}+b^{n}=0,&n\text{ 为奇数}\\ b^{n}+b^{n}=2b^{n}\neq0,&n\text{ 为偶数}\end{cases}$

   可见 $n$ 的奇偶性决定了一切，而且理由干净利落，就这一条。

2. 2

   写出 $n$ 为奇数时的恒等式。 当 $n$ 是奇数时，

   $a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a+b)\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}$

   正是这些正负交替的符号，使得乘开之后中间各项统统抵消。对 $n=3,5,7,9$ 各取 $121$ 组整数代入，逐一验证精确成立 ✓。

3. 3

   看几个小的奇数情形。

   $a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)$

   $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}\right)$

   另一个因式总是有 $n$ 项，每项的总次数都是 $n-1$，而且符号正负交替、首尾两项都是正号。

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   弄清偶数的情形。 当 $n$ 为偶数时，不存在对所有这样的 $n$ 都成立的分解：$a^{2}+b^{2}$ 在实数范围内不可约；从数值上看，$2^{2}+3^{2}=13$，而 $(2+3)(2-3)=-5$——所以 $a+b$ 确实不是因式 ✓。

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   利用藏在偶数 $n$ 里的奇因数。 如果 $n$ 是偶数，但能被某个奇数 $m>1$ 整除，就写 $n=m\cdot q$，把式子看成 $\left(a^{q}\right)^{m}+\left(b^{q}\right)^{m}$，这样又能套用奇数情形的法则了。以 $n=6$、$m=3$、$q=2$ 为例：

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   而当 $n$ 是2 的幂（$2,4,8,\ldots$）时不存在奇因数，$a^{n}+b^{n}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约——尽管像 $a^{4}+4b^{4}$ 这样的特殊形式仍能靠索菲·热尔曼恒等式分解。