求 (x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3) 的商。

Step-by-step solution

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   动手之前先把商的次数预判出来。 次数是相减的：$3$ 次的被除式除以 $2$ 次的除式，商是 $3 - 2 = 1$ 次。所以答案必然是形如 $x + c$ 的一次式，这一下就排除了「只是个常数」或「是个二次式」的选项。

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   第一轮：用除式的首项去除。 除式是二次的，所以要拿 $x^2$ 去除，而不是 $x$：

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   把整个除式乘以 $x$ 再相减：

   $x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x$

   $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + 4x^2 + 3x) = 2x^2 + 8x + 6$

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   第二轮：次数正好抵消。 剩下的式子首项是 $2x^2$，与除式同次：

   $\frac{2x^2}{x^2} = 2$

   所以商的下一项是常数 $2$——不是 $2x$。这一步正是把除式次数搞混就会出错的地方。

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   相减，确认除法结束。 乘回去：

   $2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$

   $(2x^2 + 8x + 6) - (2x^2 + 8x + 6) = 0$

   余式是 $0$，所以商恰好就是 $x + 2$。

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   把两个多项式都因式分解来交叉验证。 它们在整数范围内都能完全分解：

   $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3), \qquad x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

   约掉公因式 $(x+1)(x+3)$ 剩下 $x + 2$，与长除法结果一致，也说明对一切 $x \neq -1, -3$ 这个除法都是整除的。