把 (y − x)² (x + y)² − (x − y)² (x + y) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先让两个二项式对上。 第一项含 $(y-x)^{2}$，第二项含 $(x-y)^{2}$。由于 $y-x=-(x-y)$，而平方会把符号吃掉，

   $(y-x)^{2}=(-(x-y))^{2}=(x-y)^{2}.$

   把第一项改写成含 $(x-y)^{2}$ 的形式，共同结构就显出来了；不做这一步，公因式很容易被完全忽略。

2. 2

   把式子写成对齐后的形式。 题目变成

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y).$

   现在两项都明显含有 $(x-y)^{2}$，也都至少含一个 $(x+y)$。

3. 3

   找出最大公因式。 把两项逐个因式比较：$(x-y)$ 在两项里都是平方，而 $(x+y)$ 在第一项里是二次、在第二项里只有一次。最大公因式取每个因式的最低次幂：

   $\text{最大公因式}=(x-y)^{2}(x+y).$

4. 4

   把它提出来。 每项除以最大公因式后，第一项剩下 $(x+y)$，第二项剩下 $1$：

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y)=(x-y)^{2}(x+y)\left[(x+y)-1\right].$

   那个 $1$ 是最常被漏掉的部分——第二项在提出公因式后不会消失，而是变成 $1$。

5. 5

   写出答案并做数值验证。 完整的因式分解是

   $(x-y)^{2}(x+y)(x+y-1),$

   这三个因式在有理数范围内都不能再往下分解。在 $x=2.4$、$y=1.1$ 处检验：原式给出 $14.7875$，分解形式也给出 $14.7875$ ✓；另取一组随机值同样吻合到九位数字。