不等式 a(x − 4)² + b < 10 的解集是 k − 8 < x < 2k + 1，求 k。

Step-by-step solution

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   先找出对称轴。 式子 $a(x-4)^2+b$ 写的是顶点式：它的图像是一条顶点落在 $x=4$ 的抛物线，关于竖直线 $x=4$ 对称。$a$ 与 $b$ 取什么值，都改不了这条对称轴。

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   说明解集为什么必须以对称轴为中心。 解集是有界的（是一个区间，而不是两条射线的并），这就迫使 $a>0$——开口向上的抛物线只会在一段区间上落到水平线 $y=10$ 以下。它的两个边界点满足 $a(x-4)^2+b=10$，即 $(x-4)^2=\frac{10-b}{a}$，所以它们是 $x=4\pm\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$：到 4 的距离相等。因此解集区间的中点恰好就是 $4$。

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   令所给区间的中点等于 4。

   $\frac{(k-8)+(2k+1)}{2}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{3k-7}{2}=4\quad\Rightarrow\quad 3k-7=8$

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   解出 $k$。

   $3k=15\quad\Rightarrow\quad k=5$

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   验证区间，并确认它没有退化。 当 $k=5$ 时两个端点是 $k-8=-3$ 与 $2k+1=11$，解集为 $-3<x<11$；它的中点 $\frac{-3+11}{2}=4$ ✓，与对称轴吻合。区间也确实非空（$-3<11$），这是一个合格解集必须满足的。

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   看清题目定住了什么、没定住什么。 半宽是 $11-4=7$，所以 $49a+b=10$，即 $b=10-49a$。任何 $a>0$ 配上相应的 $b$，得到的都是同一个区间——所以尽管 $a$ 与 $b$ 各自并不确定，$k=5$ 却是唯一确定的。