解方程 (5x − 4)² − 49x² = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把第二项改写成一个平方。 因为 $49x^2 = (7x)^2$，左边就是两个平方之差：

   $(5x-4)^2 - (7x)^2 = 0$

   看出这一点，就不必展开成 $25x^2 - 40x + 16 - 49x^2 = -24x^2 - 40x + 16$ 再去约系数 —— 因式分解更短，也更不容易出错。

2. 2

   套用公式 A² − B² = (A − B)(A + B)。 取 $A = 5x - 4$、$B = 7x$：

   $\bigl((5x-4) - 7x\bigr)\bigl((5x-4) + 7x\bigr) = 0$

3. 3

   把两个括号各自化简。

   $(5x - 4) - 7x = -2x - 4, \qquad (5x - 4) + 7x = 12x - 4$

   于是方程成为

   $(-2x - 4)(12x - 4) = 0$

4. 4

   对每个因式用「乘积为零」法则。

   $-2x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2$

   $12x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

5. 5

   把两个根代回原方程检验。 取 $x = -2$：$(-10-4)^2 - 49(4) = 196 - 196 = 0 \ \checkmark$。取 $x = \tfrac13$：$\left(\tfrac53 - 4\right)^2 - 49\cdot\tfrac19 = \tfrac{49}{9} - \tfrac{49}{9} = 0 \ \checkmark$。两个都严格成立，而二次方程最多只有两个根，所以解集已经完整。