计算 2x⁴ - x³ - 5x² + 2x + 2 除以 x - 1。

Step-by-step solution

1. 1

   选用综合除法，并找对试根值。 除式 $x-1$ 是一次的、首项系数为 $1$，正好适用综合除法。令 $x-1=0$ 得到试根值 $x=1$——注意符号：除式写作 $x-1$，用的是 $+1$，不是 $-1$。

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   按次数顺序写下系数，缺项要补零。 被除式每个次数都出现了，所以这一行是

   $2,\ -1,\ -5,\ 2,\ 2$

   （如果缺了某个次数，就必须在对应位置补上一个 $0$——漏掉它是综合除法最经典的错误。）

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   先落下首项，然后反复：乘以 1，再加到下一个系数上。

   $2;\quad -1+2=1;\quad -5+1=-4;\quad 2+(-4)=-2;\quad 2+(-2)=0$

   因为试根值是 $1$，每一步乘法都很省事，整个过程其实就是系数的累加。

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   读出商和余数。 前四个数是商的系数，次数比被除式低一次，最后一个数就是余数：

   $\text{商}=2x^{3}+x^{2}-4x-2,\qquad \text{余数}=0$

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   解读余数为零的含义。 由因式定理，余数为 $0$ 说明 $x=1$ 是被除式的根，$(x-1)$ 是它货真价实的因式：

   $2x^{4}-x^{3}-5x^{2}+2x+2=(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$

   确实，被除式各项系数之和 $2-1-5+2+2=0$，这正是检验 $x=1$ 是否为根的速算法。

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   乘回去检验，并再往前走一步。 把 $(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$ 展开，恰好还原成原来的四次式 ✓。那个三次式还能继续用分组法分解：$x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$，所以完整的因式分解是 $(x-1)(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$，根为 $1,\ -\tfrac12,\ \pm\sqrt2$。