化简分式 (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸) / (2¹⁰ + 5 × 2⁹)。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把幂直接算出来。 你当然可以算成 $1024+512+256=1792$ 比 $1024+2560=3584$，但这道题练的是那种在指数换成字母时依然管用的技巧。要提公因式，而不是乘开。

2. 2

   从分子里提出最小的那个 2 的幂。 三个指数是 $10,9,8$，最小的是 $2^{8}$：

   $2^{10}+2^{9}+2^{8}=2^{8}\left(2^{2}+2^{1}+1\right)=2^{8}(4+2+1)=7\cdot 2^{8}$

3. 3

   从分母里提出最小的那个 2 的幂。 这里的指数是 $10$ 和 $9$，所以提出 $2^{9}$：

   $2^{10}+5\cdot 2^{9}=2^{9}\left(2+5\right)=7\cdot 2^{9}$

   系数 $5$ 仍然跟着它自己那一项，所以括号里是 $2+5=7$。

4. 4

   把公共因式约掉。 两个括号都算出了 $7$，而 2 的幂按指数相减：

   $\frac{7\cdot 2^{8}}{7\cdot 2^{9}}=\frac{2^{8}}{2^{9}}=2^{8-9}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

5. 5

   数值确认。 $\dfrac{1792}{3584}=\dfrac{1}{2}$ 恰好相等，与提公因式的结果一致。两个括号里都冒出 $7$，正是这个分式能约得如此干净的原因。