解连不等式 −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1。

Step-by-step solution

1. 1

   不要两边同乘 $x+1$。 它的符号未知，直接乘就得分情况讨论，还有把不等号乘反的风险。我们改成把连不等式拆成两个独立的不等式，并且一开始就记下定义域限制 $x\ne-1$。

2. 2

   把左半边移项到一边来解。

   $\frac{2x-3}{x+1}+2>0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3+2(x+1)}{x+1}>0\;\Longrightarrow\;\frac{4x-1}{x+1}>0$

   临界点是 $x=\tfrac14$ 和 $x=-1$。取 $x=-2$ 得 $\tfrac{-9}{-1}>0$，取 $x=0$ 得 $-1<0$，取 $x=1$ 得 $\tfrac32>0$，所以左半边在 $(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)$ 上成立。

3. 3

   右半边照同样办法做。

   $\frac{2x-3}{x+1}-1\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3-(x+1)}{x+1}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{x-4}{x+1}\le0$

   临界点是 $x=4$（可以取到，因为这里允许取等）和 $x=-1$（永远不能取）。取 $x=-2$ 得 $6>0$，取 $x=0$ 得 $-4<0$，取 $x=5$ 得 $\tfrac16>0$，所以这一半在 $(-1,4]$ 上成立。

4. 4

   把两个解集取交集。 一个数必须同时满足两半：

   $\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)\right]\cap(-1,4]=\left(\tfrac14,\,4\right]$

   $(-\infty,-1)$ 这一支被整段抹掉，因为右半边把 $-1$ 以下的数全排除了。

5. 5

   在边界附近做数值检验。 在 $x=0.26$ 处商是 $-1.968$，满足 $-2<\cdot\le1$；在 $x=0.2$ 处是 $-2.167$，左边那个不等号就不成立了。在 $x=4$ 处商恰好是 $1$（包含在解集里）；在 $x=4.1$ 处是 $1.0196$，右边不成立。端点的表现与结论完全一致。

6. 6

   写出最终区间。

   $x\in\left(\frac14,\,4\right]$