解不等式 |x + 1| + |x + 2| > 3。

Step-by-step solution

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   先找折点。 每个绝对值都在里面的式子为零处换写法：

   $x+1=0\Rightarrow x=-1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2$

   这两个点把数轴切成三段：$x<-2$、$-2\le x<-1$、$x\ge-1$。在每一段上，两个绝对值都能换成普通的一次式。

2. 2

   情形 1：x < -2（两个绝对值里面都是负的）。 此时 $|x+1|=-x-1$、$|x+2|=-x-2$，于是

   $-2x-3>3\Rightarrow -2x>6\Rightarrow x<-3$

   除以 $-2$ 时不等号要变向。把 $x<-3$ 与本情形的条件 $x<-2$ 求交集，剩下 $x<-3$。

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   情形 2：-2 <= x < -1（正负号混着来）。 这里 $|x+1|=-x-1$，但 $|x+2|=x+2$，两个 $x$ 项刚好抵消：

   $(-x-1)+(x+2)=1>3$

   这对区间里的每一个 $x$ 都不成立，所以中间这一段毫无贡献。从几何上看，在两个折点之间，两段距离之和恒等于 $1$。

4. 4

   情形 3：x >= -1（两个绝对值里面都非负）。 此时

   $(x+1)+(x+2)=2x+3>3\Rightarrow 2x>0\Rightarrow x>0$

   与 $x\ge-1$ 求交集，剩下 $x>0$。

5. 5

   把各情形合并起来。

   $x<-3\quad\text{或}\quad x>0,\qquad\text{即}\qquad(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

6. 6

   换成距离来理解答案，然后验算。 $|x+1|+|x+2|$ 就是 $x$ 到 $-1$ 和到 $-2$ 的距离之和；它的最小值是两点间距 $1$，在整个中间区间上都取到，往外每走一个单位就增加 $2$ —— 所以恰好在每个折点外侧一个单位处达到 $3$，也就是 $x=-3$ 和 $x=0$。核对一下：$x=-3$ 时 $|{-2}|+|{-1}|=3$ ✓，$x=0$ 时 $|1|+|2|=3$ ✓；再把 $-8$ 到 $8$ 之间的 $1601$ 个测试点扫一遍，每一点都与上面给出的解集吻合 ✓。