解方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.115212 = 0。

Step-by-step solution

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   先用悬殊的系数猜出根的分布。 对 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212=0$，三根之和是 $245.711$，三根之积是 $-0.115212$。这两件事要同时成立，就只能是一个根在 $245.7$ 附近，另外两个离零不到几百分之一 —— 所以应当把两种尺度分开处理，而不是去搬三次方程的一般求根公式。

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   丢掉 $x^{3}$ 求两个小根。 如果 $|x|$ 只有几百分之一，那么 $x^{3}$ 是 $10^{-5}$ 量级，与 $245.711x^{2}$ 相比完全可以忽略。丢掉它就只剩二次方程 $245.711x^{2}-2.764156x-0.115212=0,$ 它的判别式是 $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.115212)=120.8759813203,\qquad \sqrt{D}=10.9943613421.$ 再用求根公式得到 $x\approx -0.016747735\quad\text{和}\quad x\approx 0.027997357.$

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   用一步牛顿迭代修正这两个根。 丢掉的 $x^{3}$ 项只在小数点后第七位上影响每个根；对完整的三次方程做牛顿迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，会收敛到 $x=-0.016747308\qquad\text{和}\qquad x=0.027999354.$ 与二次方程的估计相比，修正量只有 $4.3\times 10^{-7}$ 和 $2.0\times 10^{-6}$，这正是「丢掉 $x^{3}$」这一步所承诺的：被忽略的项是 $10^{-5}$ 量级，而 $245.711x^{2}$ 项是 $10^{-1}$ 量级。

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   大根用根之和来求，别用求根公式。 三根之和必须是 $245.711$，所以 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.016747308+0.027999354\right)=245.699747954.$ 把这个值代进 $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.115212$，在十二位有效数字上结果都是零。

5. 5

   用韦达定理的两条关系一起验证。 三个根 $-0.016747308$、$0.027999354$ 和 $245.699747954$ 之和恰好是 $245.711000000$，之积是 $-0.115212$，与要求的 $-c$ 吻合。这里真正管用的是乘积那一条：两个小根就算算错了，也仍可能满足和的关系，因为大根会自动把差额吸收掉 —— 只有乘积能把错误暴露出来。

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   写出解集。 $x=-0.016747308,\qquad x=0.027999354,\qquad x=245.699747954.$ 三个根都是实根，这与曲线的形状一致：它在零点稍下方穿过一次 x 轴，在零点稍上方穿过一次，还在远处的 $245.7$ 附近穿过一次。