把 18abc² − 12a²b²c 分解到底。

Step-by-step solution

1. 1

   先取系数的最大公约数。 $18=2\cdot 3^2$，$12=2^2\cdot 3$，所以它们的最大公约数是 $2\cdot 3=6$。只提出 $2$ 或只提出 $3$，剩下的部分还能继续分解，那样就没有分解到底。

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   每个字母取它在两项中都出现的最低次幂。 逐个比较指数：$a^1$ 对 $a^2$ 取 $a$；$b^1$ 对 $b^2$ 取 $b$；$c^2$ 对 $c^1$ 取 $c$。规则永远是取最小的指数，所以公因式的字母部分是 $abc$。

3. 3

   把公因式拼起来。

   $\gcd=6abc$

   这里恰好每个字母在两项中都出现，所以一个也没落下。

4. 4

   用 $6abc$ 去除每一项。

   $\frac{18abc^2}{6abc}=3c,\qquad \frac{12a^2b^2c}{6abc}=2ab$

   于是括号里是 $3c-2ab$，两者之间原来的减号要保留。

5. 5

   写出分解式，再乘回去检验。

   $18abc^2-12a^2b^2c=6abc(3c-2ab)$

   展开看看：$6abc\cdot 3c=18abc^2$，$6abc\cdot 2ab=12a^2b^2c$ ✓。再代数值，取 $a=b=c=2$：原式是 $18\cdot 16-12\cdot 32=288-384=-96$，分解式是 $6\cdot 8(6-8)=48(-2)=-96$ ✓。括号里的 $3c-2ab$ 已经没有公因式可提，所以确实分解到底了。