把 (x + 1) 的四次方加上 (x − 1) 的四次方再减去 82 完全分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   用二项式定理把两个四次方都展开。

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,\qquad (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

2. 2

   相加，注意奇次项会全部消掉。

   $(x+1)^4+(x-1)^4=2x^4+12x^2+2$

   这不是巧合：第二个式子就是把第一个式子里的 $x$ 换成 $-x$，而 $f(x)+f(-x)$ 永远只剩下偶次项。看出这一点，$x^3$ 和 $x$ 那些账就完全不用算了。

3. 3

   减去 82，再提出公因数 2。

   $2x^4+12x^2+2-82=2x^4+12x^2-80=2\left(x^4+6x^2-40\right)$

4. 4

   换元 $y=x^2$，把它变成普通的二次式。

   $y^2+6y-40=(y+10)(y-4)$

   因为 $10\cdot(-4)=-40$，$10+(-4)=6$。

5. 5

   回代，并在实数范围内分解到底。

   $x^4+6x^2-40=(x^2+10)(x^2-4)=(x^2+10)(x-2)(x+2)$

   因式 $x^2+10$ 没有实根，所以保持原样；$x^2-4$ 是平方差，可以继续拆开。

6. 6

   整理结果并做数值验算。

   $(x+1)^4+(x-1)^4-82=2(x-2)(x+2)(x^2+10)$

   取 $x=1$：原式为 $16+0-82=-66$，而 $2(-1)(3)(11)=-66$ ✓。取 $x=3$：$256+16-82=190$，而 $2(1)(5)(19)=190$ ✓。