函数 f(x) = |x − 4| − 3 向上平移 6 个单位、向右平移 2 个单位，写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

1. 1

   先找出原来的顶点。 对 $f(x)=|x-h|+k$，拐点在 $(h,k)$。从 $f(x)=|x-4|-3$ 读出 $h=4$、$k=-3$，所以顶点在

   $(4,-3)$

   盯住顶点是理清平移最快的办法，因为那个 V 形本身从头到尾没变过——变的只是它拐角所在的位置。

2. 2

   做水平平移：把 $x$ 换成 $x-2$。 图像向右移 $2$ 个单位，意味着要得到同样的输出，输入必须大 $2$，所以代换时是减：

   $f(x-2)=\left|(x-2)-4\right|-3=|x-6|-3$

   多数同学都觉得这个符号是反的——右移在里面要减——正因如此，与其死记，不如老老实实做一次代换。

3. 3

   做竖直平移：在外面加。 向上移 $6$ 个单位，就是给整个输出加 $6$：

   $|x-6|-3+6=|x-6|+3$

   竖直平移倒是符合直觉：向上就是 $+$。

4. 4

   写出平移后的函数及其顶点。

   $f(x)=|x-6|+3,\qquad \text{顶点为 }(6,3)$

   顶点从 $(4,-3)$ 挪到了 $(6,3)$：向右 $2$、向上 $6$——与题目要求分毫不差，这本身就是一道自带的检验。

5. 5

   取点验证。 在原图像上 $f(4)=|4-4|-3=-3$（就是那个拐角）。它在右移 $2$、上移 $6$ 之后应当落在 $(6,3)$，而新解析式给出 $|6-6|+3=3\;\checkmark$。再验一个：原来的 $f(0)=|{-4}|-3=1$ 对应的点应落到 $(2,7)$，新函数算出 $|2-6|+3=4+3=7\;\checkmark$。