解不等式 −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   一步去掉两个分母。 分母是 $3$ 和 $2$，所以每一项都乘以它们的最小公倍数 $6$。因为 $6>0$，不等号方向不受影响——这是去分母最稳妥的做法：

   $6\cdot\left[-\frac13(x-7)\right]\ge6\cdot\left[\frac12(3x+1)\right]$

   $-2(x-7)\ge3(3x+1)$

2. 2

   两边分别去括号。

   $-2x+14\ge9x+3$

   那个 $-2$ 要乘到括号里的两项上，所以 $-7$ 变成了 $+14$。

3. 3

   把含未知数的项移到一边。 两边同减 $9x$（加减法永远不会改变不等号方向）：

   $-11x+14\ge3$

   再两边同减 $14$：

   $-11x\ge-11$

4. 4

   除以负系数，同时变号。 两边同除以 $-11$，不等号方向要反过来：

   $x\le1$

   这一次变号就是整道题唯一的陷阱；这里若仍写 $\ge$，得到的将是完全相反的那半条数轴。

5. 5

   在边界两侧各取一点检验。 取 $x=1$：左边 $=-\tfrac13(-6)=2$，右边 $=\tfrac12(4)=2$，取等号成立 ✓（端点包含在内）。取 $x=0$：左边 $=\tfrac73\approx2.33$，右边 $=0.5$，$2.33\ge0.5$ 成立 ✓。取 $x=2$：左边 $=\tfrac53\approx1.67$，右边 $=3.5$，$1.67\ge3.5$ 不成立 ✓。所以解集是 $(-\infty,1]$。