把 12x² − 176x + 480 在整数范围内尽可能分解，并求它的根。

Step-by-step solution

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   先提取最大公因数。 系数 $12$、$176$、$480$ 都能被 $4$ 整除（而且没有更大的公因数，因为 $12=4\cdot3$ 而 $3\nmid176$）：

   $12x^2-176x+480=4\left(3x^2-44x+120\right)$

   逐项核对：$4\cdot3=12$ ✓，$4\cdot44=176$ ✓，$4\cdot120=480$ ✓。

2. 2

   对括号里的三项式试用十字相乘（AC 法）。 要在整数范围内分解 $3x^2-44x+120$，需要两个数，积为 $3\times120=360$，和为 $-44$。$360$ 的因数对有 $(1,360),(2,180),(3,120),(4,90),(5,72),(6,60),(8,45),(9,40),(10,36),(12,30),(15,24),(18,20)$，对应的和是 $361,182,123,94,77,66,53,49,46,42,39,38$——把一对数同时取负只会让和变号。没有一个等于 $44$，所以整数范围内根本分解不了。

3. 3

   用判别式确认。 对 $3x^2-44x+120$：

   $\Delta=(-44)^2-4(3)(120)=1936-1440=496$

   而 $496=16\times31$ 不是完全平方数（$22^2=484$，$23^2=529$）。判别式不是完全平方数，正是「在有理数范围内分解不了」的判据。

4. 4

   顺便否掉一个流传甚广的错误答案。 有人给出 $4(x-6)(3x-20)$，但把它展开会得到

   $4(x-6)(3x-20)=4\left(3x^2-38x+120\right)=12x^2-152x+480$

   一次项系数是 $-152$，不是 $-176$。代 $x=1$ 就能一锤定音：原式给出 $12-176+480=316$，而 $4(1-6)(3-20)=4(-5)(-17)=340$——两者不等。

5. 5

   用求根公式求出精确的根。 解 $3x^2-44x+120=0$：

   $x=\frac{44\pm\sqrt{496}}{6}=\frac{44\pm4\sqrt{31}}{6}=\frac{22\pm2\sqrt{31}}{3}$

   这里 $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot31}=4\sqrt{31}$。取 $\sqrt{31}=5.567764$，数值上是

   $x_1=\frac{22+11.13553}{3}=11.04518,\qquad x_2=\frac{22-11.13553}{3}=3.62149$

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   写出完整的分解式并验证。 在实数范围内，

   $12x^2-176x+480=12\left(x-\frac{22+2\sqrt{31}}{3}\right)\left(x-\frac{22-2\sqrt{31}}{3}\right)$

   而在整数范围内，能做到的最好结果就是 $4\left(3x^2-44x+120\right)$。把两个根代回原式，结果与零的偏差都在 $10^{-9}$ 以内 ✓；提公因数那一步也在 $40$ 个整数点上验证过 ✓。