解方程 x³ − 3x² + 4 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先试有理根。 由有理根定理，候选值只有 $\pm1, \pm2, \pm4$。逐个代入：$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$，$f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0$，$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$。一下就中了两个，这已经暗示存在重因式。

2. 2

   用综合除法除以 (x − 2)。 写系数时要把缺掉的一次项补上：$1,\ -3,\ 0,\ 4$。首项落下 $1$，每步乘 $2$ 再相加，得到一行 $1,\ -1,\ -2$，余数为 $0$，所以

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)\left(x^2 - x - 2\right)$

   补上那个占位的 $0$ 至关重要——漏掉它，后面每一个系数都会错位。

3. 3

   分解那个二次式。 积为 $-2$、和为 $-1$ 的两个数是 $-2$ 和 $1$：

   $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

4. 4

   写出完整的因式分解。

   $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$

   因式 $(x-2)$ 出现了两次，印证了前面的猜测。

5. 5

   写出根及其重数。

   $x = 2 \ \text{（二重根）}, \qquad x = -1$

6. 6

   验算。 把 $(x-2)^2(x+1) = \left(x^2 - 4x + 4\right)(x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$ 展开——其中 $x$ 的项 $-4x$ 与 $+4x$ 相互抵消，这正是原式没有一次项的原因。由于 $x = 2$ 的重数是偶数，曲线在那里与横轴相切而不穿过；而在 $x = -1$ 处则是穿过去的。