当 k 取哪些值时，方程组 x + 2y − 2z = 0，2x − y + kz = 0，3x + y − z = 0 有非零解？并写出每种情形下的全部解。

Step-by-step solution

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   先看清这是哪一类方程组。 三个方程右端全是 $0$，所以这是齐次方程组，$(0,0,0)$ 永远是一个解。真正要问的是有没有别的解——而这恰好等价于系数行列式为零。

2. 2

   用不含 $k$ 的那两个方程消元。 第 1 式和第 3 式的系数都是已知数，所以先拿它们开刀。由第 3 式，

   $y=z-3x,$

   代入第 1 式：

   $x+2(z-3x)-2z=x+2z-6x-2z=-5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   也就是说，无论 $k$ 取什么值都有 $x=0$ —— 参数救不回第一个分量。

3. 3

   把 $x=0$ 代回方程组。 取 $x=0$ 后，第 3 式给出 $y=z$，第 2 式变成

   $-y+kz=0\;\Longrightarrow\;-z+kz=0\;\Longrightarrow\;(k-1)z=0.$

   现在一切都取决于因子 $k-1$ 是不是零。

4. 4

   分两种情形讨论。 若 $k\neq 1$，则 $k-1\neq 0$ 逼出 $z=0$，从而 $y=0$，唯一的解就是平凡解：

   $(x,y,z)=(0,0,0).$

   若 $k=1$，方程 $(k-1)z=0$ 自动成立，于是 $z=t$ 可以自由取值，$y=t$，$x=0$：

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

5. 5

   用行列式再确认一遍。 把系数行列式按第一行展开，

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&k\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-k)-2(-2-3k)-2(2+3)=1-k+4+6k-10=5k-5=5(k-1).$

   它恰好在 $k=1$ 时为零，与上面的分类完全吻合。当 $k=1$ 时随手验一下 $(0,1,1)$：$0+2-2=0$ ✓，$0-1+1=0$ ✓，$0+1-1=0$ ✓。