化简代数式 (a²b + ab²)(a² − ab + b²) − ab⁴。

Step-by-step solution

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   先看结构，别急着展开。 直接乘开会得到六个乘积项，很容易算错。第二个括号 $a^2-ab+b^2$ 正是立方和公式里那个特征鲜明的因式，所以思路是把第一个括号凑成 $a+b$ 乘上某个式子。

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   从第一个括号里提出公因式 $ab$。 两项都含 $ab$：

   $a^2b+ab^2 = ab(a+b)$

   原式变成

   $ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab^4$

3. 3

   套用立方和公式。 由于

   $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

   三个括号的乘积就化成了一个简单的乘积：

   $ab(a^3+b^3)-ab^4$

4. 4

   把 $ab$ 乘进去。

   $ab \cdot a^3 + ab \cdot b^3 - ab^4 = a^4b + ab^4 - ab^4$

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   抵消互为相反数的两项。 $ab^4$ 与 $-ab^4$ 相加为零，只剩下

   $a^4b$

   那个麻烦的 $b^4$ 项正好抵消，这说明立方和这条路就是出题人预设的思路。

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   代数字抽查一下。 取 $a=2$、$b=3$：原式为 $(12+18)(4-6+9)-2\cdot81=30\cdot7-162=210-162=48$，而 $a^4b=16\cdot3=48$，完全吻合。