解方程 x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   在动手算之前先预判根的量级。 $x^{2}$ 项的系数比其它系数大得离谱，所以必有一个根靠近 $245.711$（单靠它就几乎与三次项相抵），剩下两个必然极小，大致就是近似二次式 $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$ 的两个根。预料到量级会有 $10^{4}$ 的跨度，你就知道哪些检验灵敏、哪些不灵敏。

2. 2

   定出那个大根。 当 $x$ 靠近 $245.711$ 时，三次式由 $x^{2}(x-245.711)$ 主导，从 $x_{0}=245.7$ 出发做牛顿迭代立刻收敛到

   $x_{3}=245.6997489169$

3. 3

   靠变号定出两个小根。 在零附近算 $f$：$f(-0.011)<0$，$f(0)=0.057072>0$，$f(0.022)<0$，所以 $(-0.011,0)$ 内有一个根，$(0,0.022)$ 内还有一个。用 50 位精度的算术做牛顿迭代，得

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

4. 4

   要靠代入验证，不能只靠韦达定理。 这是关键的一道保险。根之和必须是 $245.711$、根之积必须是 $-0.057072$，但大根对和的主导太彻底，错误的小根照样能「通过」检验：错误的一对 $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ 在四位小数上满足韦达的和检验（积却是 $-0.09690$，差得很远），可把它们任一个代入 $f$，得到的是 $-0.0398$，而不是 $0$。

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   逐个直接确认。 把正确的值代进去，在 50 位精度下 $f(x_{1})$、$f(x_{2})$、$f(x_{3})$ 都小于 $10^{-40}$ ✓。只有代回原多项式，才能把真正的根和看似很像的「差一点」区分开。

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   写出三个根。

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   三个都是实数，与判别式为正相符；这条三次曲线穿过 x 轴三次，其中两次都在离原点百分之一以内。